Свойства равнобедренного треугольника 7 класс видео

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Содержание:

1. Свойства равнобедренного треугольника.
2. Признаки равнобедренного треугольника.
3. Формулы равнобедренного треугольника:
   • формулы длины стороны;
   • формулы длины равных сторон;
   • формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

АВ = ВС — боковые стороны

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

• Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
• Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
• Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Доказательство теоремы:

• Дан Δ ABC.
• Из точки В проведем высоту BD.
• Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD.Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
• Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
• В Δ ABDи ΔBCD∠ BАD = ∠ BСD(из Теоремы 1).
• АВ = ВС — боковые стороны равны.
• Стороны АD = СD, т.к. точка Dотрезок делит пополам.
• Следовательно Δ ABD =ΔBCD.
• Биссектриса, высота и медиана это один отрезок — BD

Вывод:

1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
3. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

• Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство теоремы:

Доказательство от противного.

• Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
• Пусть Δ A₁B₁C₂ = Δ ABC, у которого вершина C₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной C₁ относительно прямой A₁B₁. По предположению вершины C₁ и C₂ не совпадают. Пусть D – середина отрезка C₁C₂. Δ A₁C₁C₂ и Δ B₁C₁C₂ – равнобедренные с общим основанием C₁C₂. Поэтому их медианы A₁D и B₁D являются высотами. Значит, прямые A₁D и B₁D перпендикулярны прямой C₁C₂. A₁D и B₁D имеют разные точки A₁ и B₁, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C₁C₂ можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
• Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.

Признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны.
2. Сумма углов треугольника 180°.
3. Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
4. Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
5. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

• b — сторона (основание)
• а — равные стороны
• a — углы при основании
• b — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания — b):

• b = 2a sin( beta /2)= a sqrt
• b = 2a cos alpha

Формулы длины равных сторон — (а):

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

• L — высота=биссектриса=медиана
• b — сторона (основание)
• а — равные стороны
• a — углы при основании
• b — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

Площадь равнобедренного треугольника

• b — сторона (основание)
• а — равные стороны
• h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

Равнобедренный треугольник и его свойства

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке будет рассмотрена тема «Равнобедренный треугольник и его свойства». Вы узнаете, как выглядят и чем характеризуются равнобедренный и равносторонний треугольники. Докажете теорему о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника. Рассмотрите также теорему о биссектрисе (медиане и высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника. В конце урока вы разберете две задачи с использованием определения и свойств равнобедренного треугольника.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Определение равнобедренного треугольника

Определение: Равнобедренным называется треугольник, у которого равны две стороны.

Рис. 1. Равнобедренный треугольник

АВ = АС – боковые стороны. ВС – основание.

Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Определение равностороннего треугольника

Определение: Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

Теорема о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника

Теорема 1: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано: АВ = АС.

Доказать: ∠В =∠С.

Рис. 3. Чертеж к теореме

Доказательство: треугольник АВС = треугольнику АСВ по первому признаку (по двум равным сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. Значит, ∠В = ∠С, что и требовалось доказать.

Теорема о биссектрисе (медиане, высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Дано: АВ = АС, ∠1 = ∠2.

Доказать: ВD = DC, AD перпендикулярно BC.

Рис. 4. Чертеж к теореме 2

Доказательство: треугольник ADB = треугольнику ADC по первому признаку (AD – общая, АВ = АС по условию, ∠BAD = ∠DAC). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. BD = DC, так как они лежат против равных углов. Значит, AD является медианой. Также ∠3 = ∠4, поскольку они лежат против равных сторон. Но, к тому же, они в сумме равняются . Следовательно, ∠3 = ∠4 = . Значит, AD является высотой треугольника, что и требовалось доказать.

В единственном случае a = b = . В этом случае прямые АС и ВD называются перпендикулярными.

Поскольку биссектрисой, высотой и медианой является один и тот же отрезок, то справедливы и следующие утверждения:

— Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

— Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Решение задач

Пример 1: В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.

Дано: АВ = АС, ВС = AC. Р = 50 см.

Найти: ВС, АС, АВ.

Решение:

Рис. 5. Чертеж к примеру 1

Обозначим основание ВС как а, тогда АВ = АС = 2а.

Ответ: ВС = 10 см, АС = АВ = 20 см.

Пример 2: Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.

Дано: АВ = ВС = СА.

Доказать: ∠А = ∠В = ∠С.

Доказательство:

Рис. 6. Чертеж к примеру

∠В = ∠С, так как АВ=АС, а ∠А = ∠В, так как АС = ВС.

Следовательно, ∠А = ∠В = ∠С, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели равнобедренный треугольник, изучили его основные свойства. На следующем уроке мы порешаем задачи по теме равнобедренного треугольника, на вычисление площадт равнобедренного и равностороннего треугольника.

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Словари и энциклопедии на «Академике» (Источник).
2. Фестиваль педагогической идеи «Открытый урок» (Источник).
3. Кaknauchit.ru (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 29. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2. Периметр равнобедренного треугольника равен 35 см, а основа втрое меньше боковой стороны. Найдите стороны треугольника.

3. Дано: АВ = ВС. Докажите, что ∠1 = ∠2.

4. Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см, одна из его сторон в два раза больше другой. Найдите стороны треугольника. Сколько решений имеет задача?

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Свойства равнобедренного треугольника 7 класс видео

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

• Главная
• 7-Класс
• Геометрия
• Видеоурок «Свойства равнобедренного треугольника»

Треугольник — одна из самых распространенных фигур в геометрии. Вениамин Фёдорович Каган, русский математик ХХ века, однажды сказал: «Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике…» действительно одна из важнейших теорем геометрии гласит

Теорема: Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.

Докажем эту теорему. Для этого возьмем произвольный треугольник АВС. Через вершину В проведем прямую а параллельную стороне треугольника АС. Пронумеруем получившиеся углы: 1,2,3 номера углов при вершинах А, В и С соответственно, углы 4 и 5 образованы прямой а и сторонами АВ и ВС треугольника. Первый и четвертый углы являются накрест лежащими при пересечении параллельных прямых АС и а секущей АВ. Согласно теореме о накрест лежащих углах, они равны, то есть первый угол равен четвертому. Аналогично третий угол равен пятому, так как являются накрест лежащими при пересечении параллельных а и АС секущей ВС.

Сумма углов 4, 2 и 5 представляют собой развернутый угол с вершиной В, а он, как известно, равен 180 градусам. Тогда, исходя из равенства углов 1 и 4, 3 и 5, получаем, что сумма первого, второго и третьего углов равна 180 градусам. То есть угол А плюс угол В плюс угол С равно 180 градусов.

Что и требовалось доказать.

А теперь продлим сторону АС треугольника АВС и рассмотрим смежный угол угла С, такой угол называется – внешним углом треугольника.

Поскольку смежные углы составляют развернутый угол, их сумма равна 180 градусам, тогда внешний угол треугольника равен 180 градусов минус угол С. А нам теперь известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, и из этой теоремы следует, что 180 градусов минус угол С — это сумма углов А и В. Значит, величина внешнего угла треугольника равна сумме двух углов треугольника не смежных с ним.

Представим, что в треугольнике один угол 90 градусов, тогда, согласно теореме о сумме углов в треугольнике, сумма оставшихся двух углов должна быть равна 180 — 90 = 90 градусам, из чего следует, что оставшиеся углы острые. Если же в треугольнике есть тупой угол, то есть больше 90 градусов, то оставшиеся два углы в сумме должны быть меньше 90 градусов и, значит, также будут острыми. Таким образом, в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой. Поэтому в зависимости от вида угла рассматриваемый треугольник может быть:тупоугольным, если среди его углов есть тупой угол, остроугольным, если все три угла треугольника острые, или прямоугольным, если в треугольнике есть угол, равный 90 градусам.

В прямоугольном треугольнике стороны, расположенные друг к другу под прямым углом, называют катетами, а сторону, расположенную напротив угла в 90 градусов, гипотенузой.

Итак, сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

Угол смежный с углом при вершине треугольника называется внешним углом треугольника и равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.

Треугольники могут быть трёх видов: остроугольные, тупоугольные и прямоугольные.