Видео уроки показательная функция

Показательная функция

Please login to continue.

Описание к Уроку

Вам хорошо знакомо, что такое степень. Бывают два вида функций. формулы которых записывают в виде степени. Если независимая переменная «х» записана в основании, то функцию называют СТЕПЕННОЙ, а если независимая переменная «х» записана в показателе, то функцию называют ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ

Функция у = а х , где а>0 и а 1, а х – переменная называется показательная функция.

а называют основанием, х – показателем, у – функция.

Именно потому, что аргумент х находится в показателе степени, она носит название показательной функции.

Например, у=3 х , у=(¾) х , у=0,8 х и т.д.

Эта функция обладает одним замечательным свойством: скорость роста пропорциональна значению самой функции. Она как костер, который, чем больше разгорается, тем больше в него надо подкладывать дров.

Изучением этой функции мы и займемся сегодня на уроке — показательная функция.

План исследования функции.

1) Область определения функции.

2) Множество значений функции

3) Промежутки знакопостоянства

4) Четность (нечетность).

5) Точки пересечения с осями координат.

6) Монотонность и экстремумы.

1) Найдём область определения функции, т.е. выясним, какие значения может принимать переменная х, чтобы можно было найти соответственное значение у по формуле у=а х . Помните, что при этом мы рассматриваем только случай, когда а >0. Для этого рассмотрим несколько частых случаев.

• Х – натуральное число. Тогда по определению степени с натуральным показателем а n = аа·а·а…а (n раз). Действие умножения определено для любого а, поэтому множество натуральных чисел входит в область определения показательной функции.
• Х=0, тогда по определению степени с нулевым показателем a 0 =1. Это означает, что график функции проходит через точку (0;1).
• Х – целое отрицательное число. Тогда по определению степени с целым отрицательным показателем a — n = , то есть у= а -х = и множество целых отрицательных чисел тоже входит в область определения функции.
• Х – рациональное число, т.е. число вида , где m Є Z, n Є N. Но по определению степени с рациональным показателем = . √Следовательно, множество рациональных чисел тоже входит в область определения показательной функции.
• Х –иррациональное число, то его можно представить в виде обыкновенной дроби и применить 4 правило.

ВЫВОД: показательная функция область определения является множество всех действительных чисел. Это записывается так:

D(у): х ЄR. Из этого следует, что график функции непрерывный на всей области определения.

2) Найдём область значений функции, т.е. выясним, какие значения может принимать у, если х Є R. Так как а >0, то у=а х > о.

Это означает, что график расположен в первой и второй четвертях.

3) Из области значений следует ,что промежутком знакопостоянства является промежуток (0; +∞) при х ЄR.

4) Функция ни чётная, ни нечётная, так как аⁿ ≠ а⁻ⁿ и аⁿ≠-aⁿ

Показательная функция. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Урок математики по теме “Показательная функция”10 класс (учебник “Алгебра и начала математического анализа 10 класс” С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.) разработан с использованием компьютерных технологий.

На уроке рассматривается функция , где , рассматриваются свойства этой функции и ее график. Эти свойства будут использоваться в дальнейшем, при доказательстве свойств логарифмической функции, при решении показательных уравнений и неравенств.

Тип урока: комбинированный с применением компьютера и интерактивной доски.

Компьютерные технологии создают большие возможности активизации учебной деятельности. Широкое применение ИКТ при изучении большинства предметов дает возможность реализовать принцип “учение с увлечением”, и тогда любой предмет будет иметь равные шансы стать любимым детьми.

Место данного урока в теме: первый урок в теме.

Метод: комбинированный (словесно-наглядно-практический).

Цель урока: сформировать представление о показательной функции, ее свойствах и графиках.

Задачи урока:

Материал для урока подобран таким образом, что предполагает работу с учащихся различных категорий — от слабых учеников до сильных.

I. Организационный момент(слайд 1-4).Презентация

II. Изучение нового материала (слайд 5-6)

— определение показательной функции;

— свойства показательной функции;

— график показательной функции.

III. Устно — закрепление новых знаний (слайды 7-16)

1) Выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей)

; ; .

3) Сравнить с единицей:

4) На рисунке изображены графики показательных функций. Соотнесите график функции с формулой.

IV. Динамическая пауза

V. Обобщение и систематизация новых знаний (слайд 16-20)

1) Построить график функции: y=(1/3) x ;

2) Решить графически уравнение:

3) Применение показательной функции к решению прикладных задач:

“Период полураспада плутония равен 140 суткам. Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная масса равна 8 г?”

VI. Тестовая работа (слайд 21)

Каждый ученик имеет карточку с заданием — тест (Приложение 1) и таблицу для внесения ответов (Приложение 2).

Проверяем и оцениваем (слайд 22)

VII. Домашнее задание (слайд 23-24)

№ 4.55 (а, в, и) № 4.59, № 4.60 (а, ж); № 4.61 (г, з)

Задача (для тех, кто интересуется математикой):

Зависимость давления атмосферы р (в сантиметрах ртутного столба) от выраженной в километрах высоты h над уровнем моря выражается формулой

Вычислить, каким будет атмосферное давление на вершине Эльбруса, высота которой 5,6 км?

VIII. Подведение итогов

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №21. Показательная функция.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— какая функция называется показательной;

— какие свойства имеет показательная функция в зависимости от ее основания;

— какой вид имеет график показательной функции в зависимости от ее основания;

— примеры реальных процессов, описываемых показательной функцией.

Глоссарий по теме

Функция вида , a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.

Функция называется монотонно убывающей на промежутке , если (чем больше аргумент, тем меньше значение функции).

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.310-314, сс. 210-216.

Открытые электронные ресурсы:

http://fcior.edu.ru/ — Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов

http://school-collection.edu.ru/ — Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Определение, свойства и график показательной функции

Функция вида y=а х , a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.

Такое название она получила потому, что независимая переменная стоит в показателе. Основание а – заданное число.

Для положительного основания значение степени а х можно найти для любого значения показателя х – и целого, и рационального, и иррационального, то есть для любого действительного значения.

Сформулируем основные свойства показательной функции.

1. Область определения.

Как мы уже сказали, степень а х для a>0 определена для любого действительного значения переменной х, поэтому область определения показательной функции D_(y)=R.

2. Множество значений.

Так как основание степени положительно, то очевидно, что функция может принимать только положительные значения.

Множество значений показательной функции Е_(y)=R + , или Е_(y)=(0; +∞).

3. Корни (нули) функции.

Так как основание a>0, то ни при каких значениях переменной х функция не обращается в 0 и корней не имеет.

При a>1 функция монотонно возрастает.

6. График функции.

Рисунок 1 – График показательной функции при a>1

При 0 1 при х стремящемся к минус бесконечности.

2. Рассмотрим пример исследования функции y=–3 х +1.

1) Область определения функции – любое действительное число.

2) Найдем множество значений функции.

Так как 3 х >0, то –3 х х +1 х +1 представляет собой промежуток (-∞; 1).

3) Так как функция y=3 х монотонно возрастает, то функция y=–3 х монотонно убывает. Значит, и функция y=–3 х +1 также монотонно убывает.

4) Эта функция будет иметь корень: –3 х +1=0, 3 х =1, х=0.

5) График функции

Рисунок 3 – График функции y=–3 х +1

6) Для этой функции горизонтальной асимптотой будет прямая y=1.

3. Примеры процессов, которые описываются показательной функцией.

1) Рост различных микроорганизмов, бактерий, дрожжей и ферментов описывает формула: N= N·a kt , N– число организмов в момент времени t, t – время размножения, a и k – некоторые постоянные, которые зависят от температуры размножения, видов бактерий. Вообще это закон размножения при благоприятных условиях (отсутствие врагов, наличие необходимого количества питательных веществ и т.п.). Очевидно, что в реальности такого не происходит.

2) Давление воздуха изменяется по закону: P=P·a -kh , P– давление на высоте h, P – давление на уровне моря, h – высота над уровнем моря, a и k – некоторые постоянные.

3) Закон роста древесины: D=D·a kt , D– изменение количества древесины во времени, D – начальное количество древесины, t – время, a и k – некоторые постоянные.

4) Процесс изменения температуры чайника при кипении описывается формулой: T=T+(100– T)e -kt .

5) Закон поглощения света средой: I=I·e -ks , s– толщина слоя, k – коэффициент, который характеризует степень замутнения среды.

6) Известно утверждение, что количество информации удваивается каждые 10 лет. Изобразим это наглядно.

Примем количество информации в момент времени t=0 за единицу. Тогда через 10 лет количество информации удвоится и будет равно 2. Еще через 10 лет количество информации удвоится еще раз и станет равно 4 и т.д.

Если предположить, что поток информации изменялся по тому же закону до того года, который принят за начальный, то будем двигаться по оси абсцисс влево от начала координат и над значениями аргумента -10, -20 и т.д. будем наносить на график значения функции уже в порядке убывания — уменьшая каждый раз вдвое.

Рисунок 4 – График функции y=2 х – изменение количества информации

Закон изменения количества информации описывается показательной функцией y=2 х .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Выберите показательные функции, которые являются монотонно убывающими.

1. y=3 x-1
2. y=(0,4) x+1
3. y=(0,7) -х
4. y=
5. y=3 -2х
6. y=10 2x +1

Монотонно убывающими являются показательные функции, основание которых положительно и меньше единицы. Такими функциями являются: 2) и 4) (независимо от того, что коэффициент в показателе функции 4) равен 0,5), заметим, что функцию 4) можно переписать в виде: , используя свойство степеней.

Также монотонно убывающей будет функция 5). Воспользуемся свойством степеней и представим ее в виде:

2) 4) 5)

Найдите множество значений функции y=3 x+1 – 3.

Так как 3 x+1 >0, то 3 x+1 – 3>–3, то есть множество значений:

Найдите множество значений функции y=|2 x – 2|

2 x –2>–2, но, так как мы рассматриваем модуль этого выражения, то получаем: |2 x – 2|0.