Strong-stuff.ru

Образование Онлайн
9 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Равносильные уравнения видеоурок

Равносильные уравнения видеоурок

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

  • Главная
  • 8-Класс
  • Алгебра
  • Видеоурок «Рациональные уравнения»

В этом уроке разберем такие понятия, как рациональное уравнение, рациональное выражение, целое выражение, дробное выражение. Рассмотрим решение рациональных уравнений.

Рациональным уравнением называют уравнение, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями.

Рациональные выражения бывают:

Целое выражение составлено из чисел, переменных, целых степеней с помощью действий сложения, вычитания, умножения, а также деления на число, отличное от нуля.

В дробных выражениях есть деление на переменную или выражение с переменной. Например:

Дробное выражение не при всех значениях входящих в него переменных имеет смысл. Например, выражение

при х = –9 не имеет смысла, так как при х = –9 знаменатель обращается в нуль.

Значит, рациональное уравнение может быть целым и дробным.

Целое рациональное уравнение – это рациональное уравнение, в котором левая и правая части – целые выражения.

Дробное рациональное уравнение – это рациональное уравнение, в котором или левая, или правая части – дробные выражения.

Рассмотрим решение целого рационального уравнения.

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель знаменателей входящих в него дробей.

1. найдем общий знаменатель для знаменателей 2, 3, 6. Он равен 6;

2. найдем дополнительный множитель для каждой дроби. Для этого общий знаменатель 6 делим на каждый знаменатель

дополнительный множитель для дроби

дополнительный множитель для дроби

дополнительный множитель для дроби

3. умножим числители дробей на соответствующие им дополнительные множители. Таким образом, получим уравнение

которое равносильно данному уравнению

Слева раскроем скобки, правую часть перенесем налево, изменив знак слагаемого при переносе на противоположный.

Приведем подобные члены многочлена и получим

Видим, что уравнение линейное.

Решив его, найдем, что х = 0,5.

Рассмотрим решение дробного рационального уравнения.

1.Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель знаменателей входящих в него рациональных дробей.

Найдем общий знаменатель для знаменателей х + 7 и х – 1.

Он равен их произведению (х + 7)(х – 1).

2.Найдем дополнительный множитель для каждой рациональной дроби.

Для этого общий знаменатель (х + 7)(х – 1) делим на каждый знаменатель. Дополнительный множитель для дроби

дополнительный множитель для дроби

3.Умножим числители дробей на соответствующие им дополнительные множители.

Получим уравнение (2х – 1)(х – 1) = (3х + 4)(х + 7), которое равносильно данному уравнению

4.Слева и справа умножим двучлен на двучлен и получим следующее уравнение

5.Правую часть перенесем налево, изменив знак каждого слагаемого при переносе на противоположный:

6.Приведем подобные члены многочлена:

7.Можно обе части разделить на –1. Получим квадратное уравнение:

8.Решив его, найдем корни

Так как в уравнении

левая и правая части – дробные выражения, а в дробных выражениях при некоторых значениях переменных знаменатель может обратиться в нуль, то необходимо проверить, не обращается ли в нуль при найденных х1 и х2 общий знаменатель.

При х = –27 общий знаменатель (х + 7)(х – 1) не обращается в нуль, при х = –1 общий знаменатель также не равен нулю.

Следовательно, оба корня –27 и –1 являются корнями уравнения.

При решении дробного рационального уравнения лучше сразу указать область допустимых значений. Исключить те значения, при которых общий знаменатель обращается в нуль.

Рассмотрим еще один пример решения дробного рационального уравнения.

Например, решим уравнение

Знаменатель дроби правой части уравнения разложим на множители

Найдем общий знаменатель для знаменателей (х – 5), х, х(х – 5).

Им будет выражение х(х – 5).

теперь найдем область допустимых значений уравнения

Для этого общий знаменатель приравняем к нулю х(х – 5) = 0.

Получим уравнение, решив которое, найдем, что при х = 0 или при х = 5 общий знаменатель обращается в нуль.

Значит, х = 0 или х = 5 не могут быть корнями нашего уравнения.

Теперь можно найти дополнительные множители.

Дополнительным множителем для рациональной дроби

дополнительным множителем для дроби

а дополнительный множитель дроби

Числители умножим на соответствующие дополнительные множители.

Получим уравнение х(х – 3) + 1(х – 5) = 1(х + 5).

Раскроем скобки слева и справа, х2 – 3х + х – 5 = х + 5.

Перенесем слагаемые справа налево, изменив знак переносимых слагаемых:

Х2 – 3х + х – 5 – х – 5 = 0

И после приведения подобных членов получим квадратное уравнение х2 – 3х – 10 = 0. Решив его, найдем корни х1 = –2; х2 = 5.

Но мы уже выяснили, что при х = 5 общий знаменатель х(х – 5) обращается в нуль. Следовательно, корнем нашего уравнения

При решении дробных рациональных уравнений надо поступить следующим образом:

1.Найти общий знаменатель дробей входящих в уравнение. При этом если знаменатели дробей можно разложить на множители, то разложить их на множители и затем найти общий знаменатель.

2.Умножить обе части уравнения на общий знаменатель: найти дополнительные множители, умножить числители на дополнительные множители.

3.Решить получившееся целое уравнение.

4.Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Урок «Равносильность уравнений»

Краткое описание документа:

Начиная с 7 класса, мы постоянно решаем различные типы уравнений с одной переменной, системы уравнений с двумя переменными. И в 11 классе мы вновь обращаемся к этой теме, чтобы рассмотреть ее с самых общих позиций.

Определение первое.Два уравнения с одной переменной эф от икс равно же от икси

пэ от икс равно аш от икс

называют равносильными, если множество их корней совпадают.

Задание 1

Выяснить, являются ли уравнения икс квадрат минус один равно нулю и икс минус один равно нулю равносильными?

Решение

Вычислим корни уравнения икс квадрат минус один равно нулю. Оно имеет два корня: икс первое равно единице, икс второе равно минус единице.

Вычислим корни уравнения икс минус один равно нулю. Это уравнение имеет один корень — икс равен единице.

Данные уравнения не являются равносильными, т.к. уравнение икс квадрат минус один равно нулю имеет два корня, а уравнение икс минус один равно нулю

имеет один корень — икс равен единице.

Задание 2

Выяснить, являются ли уравнения икс квадрат минус девять равно нулю и произведение икс плюс три и два в степени икс минус восемь равно нулю равносильными?

Решение

Данные уравнения являются равносильными, так как каждое из них имеет по два корня: икс первое равно трем, икс второе равно минус трем.

Задание 3

Выяснить, являются ли уравнения икс квадрат плюс три равно нулю и квадратный корень из икс плюс пять равно нулю равносильными?

Решение

Данные уравнения являются равносильными, так как каждое из них не имеет корней.

Итак, сделаем вывод.

Если два уравнения имеют одинаковые корни или не имеют корней, то такие уравнения равносильные.

Если каждый корень уравнения эф от икс равно же от икс (обозначим его номером один) является в то же время корнем уравнения пэ от икс равно аш от икс (обозначим его номером два), то второе уравнение называют следствием уравнения первого.

Читать еще:  Английский за 15 уроков

Задание 4

Выяснить, какое из уравнений: икс минус два равно нулю и икс квадрат минус пять икс плюс шесть равно нулю, является следствием другого.

Решение

Обозначим уравнение икс минус два равно нулю номером один, а уравнение икс квадрат минус пять икс плюс шесть равно нулю номером два.

Уравнение первое имеет единственный корень, равный двум.

Уравнение второе имеет два корня: икс первое равно двум, икс второе равно трем.

Единственный корень первого уравнения — икс равен двум — является также корнем второго. Поэтому второе является следствием первого уравнения.

Задание 5

Выяснить, какое из уравнений — икс квадрат минус четыре икс плюс три равно нулю и икс квадрат минус пять икс плюс шесть равно нулю — является следствием другого.

Решение

Обозначим уравнение икс квадрат минус четыре икс плюс три равно нулю номером один, а уравнение икс квадрат минус пять икс плюс шесть равно нулю — номером два Уравнение первое имеет два корня: икс первое равно единице, икс второе равно трем.

Уравнение второе имеет два корня: икс первое равно двум, икс второе равно трем.

Оба уравнения имеют только по одному общему корню. Согласно определению, ни одно из них не является следствием другого.

Запомни!Если каждое из двух уравнений является следствием другого, то такие два уравнения равносильны.

А теперь изучим, из каких этапов состоит решение уравнения.

Решение любых уравнений происходит в три этапа:

Первый этап — технический. С помощью цепочки преобразований от исходного уравнения мы приходим к достаточно простому уравнению, которое решаем и находим корни.

Второй этап — анализ решения. Анализируем преобразования, которые выполнили, и выясняем, равносильны ли они.

Третий этап — проверка. Проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение обязательна при выполнении преобразований, которые могут привести к уравнению-следствию.

Чтобы выполнить второй этап, нам нужно знать ответ на вопрос, какие преобразования приводят к равносильному уравнению?

Обычно при решении уравнений используются шесть теорем равносильности.

Теорема первая. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Например, если в уравнении икс в пятой степени плюс три икс в квадрате минус семь равно четырем икс плюс десять перенести слагаемые четыре икс и минус семь из одной части в другую, то получим уравнение, равносильное данному уравнению.

Теорема вторая. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Например, уравнения корень пятой степени из икс в квадрате минус два икс минус три равно двум и икс квадрат минус два икс минус три равно тридцати двум после возведения обеих частей уравнения в пятую степень, в силу теоремы второй, равносильны.

Теорема третья. Показательное уравнение а в степени эф от икс равно а в степени жэ от икс, где а больше нуля и а не равно единице равносильно уравнению эф от икс равно жэ от икс.

Например, показательное уравнение четыре в степени квадратный корень из трех икс минус два равно четыре в степени два икс плюс один равносильно уравнению

квадратный корень из трех икс минус два равно двум икс плюс один.

Эти три теоремы называются «спокойными». Их применение гарантирует равносильность преобразований без дополнительных условий. Обычно их использование происходит автоматически, без особых размышлений.

Следующие три теоремы называются «беспокойными». Их применение возможно при выполнении определенных условий.

При их применении требуются внимание и аккуратность.

Определение третье.Областью определения уравнения эф от икс равно же от икс,или областью допустимых значений переменной (сокращенно ОДЗ) называ­ют множество тех значений переменной икс, при которых одновре­менно имеют смысл выражения: эф от икси же от икс.

Теорема четвертая. Если обе части уравнения эф от икс равно же от иксумножить на одно и то же выражение аш от икс, которое:

Во-первых, имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения эф от икс равно же от икс.

Во-вторых, нигде в этой области не обращается в нуль, то получится уравнение эф от икс, умноженное на аш от икс, равно же от икс, умноженное на аш от икс, равносильное данному в его ОДЗ.

Следствием теоремы четыре является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Задание 6

Выяснить, будет ли уравнение: дробь, числитель которой квадратный корень из двух икс минус один, а знаменатель икс плюс три равно дроби, числитель которой два икс минус семь, а знаменатель икс плюс три и уравнение квадратный корень из двух икс минус один равное двум икс минус семь равносильны?

Решение

ОДЗ первого уравнения задается условиями два икс минус один больше, либо равно единице и икс плюс три не равно нулю. Получаем — икс больше, либо равно нулю целым пяти десятым.

Выражение аш от икс равно икс плюс три в этой области имеет смысл и нигде не обращается в нуль. Поэтому обе части этого уравнения умножим на икс плюс три.

Согласно теореме четвертой, уравнение квадратный корень из двух икс минус один равное двум икс минус семь равносильно уравнению: дробь, числитель которой — квадратный корень из двух икс минус один, а знаменатель — икс плюс три, равная дроби, числитель которой — два икс минус семь, а знаменатель — икс плюс три (после умножения на выражение аш от икс равно икс плюс два).

Теорема пятая. Если обе части уравнения

эф от икс равно же от икснеотрицательны в о дэ зэ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение эф от икс в энной степени равно же от иксв энной степени равносильное данному уравнению в его о дэ зэ.

Задание 7

Решить уравнение: квадратный корень из шести икс минус одиннадцать равен икс минус один.

Решение

ОДЗ иррационального уравнения задается неравенством шесть икс минус одиннадцать больше, либо равно нулю, решение которого икс больше, либо равно одной целой пяти шестым.

В этой ОДЗ обе части уравнения неотрицательны. Возведем в квадрат обе части уравнения и получим, согласно теореме пятой, равносильное квадратное уравнение:

ноль равен икс в квадрате минус восемь икс плюс двенадцать. Корни которого икс первое равно шести и икс второе равно двум также будут корнями исходного уравнения.

Читать еще:  Английский с ириной колосовой урок 9

Теорема шестая. Пусть а больше нуля , а не равно одному и эф от икс больше нуля,

жэ от икс больше нуля,тологарифмическое уравнение логарифм эф от икс по основанию а равно логарифму жэ от икс по основанию а

равносильно уравнению эф от икс равно же от икс.

Задание 8

Решить уравнение логарифм выражения три икс квадрат плюс два по основанию семь равно логарифму выражения четыре модуль икс плюс один по основанию семь.

Решение

В данном логарифмическом уравнении функции эф от икс равна три икс квадрат плюс два и жэ от икс равно четыре модуль икс плюс один принимают положительные значения при всех значениях переменной икс. По теореме шесть, данное уравнение равносильно уравнению три икс квадрат плюс два равно четырем модуля икс плюс один. Корни икс первое, второе равно плюс-минус одному и икс третье, четвертое равно плюс-минус одна третья. Они являются корнями исходного уравнения.

Если нарушаются условия применимости теорем четыре — шесть, то получится уравнение-следствие. Какие же преобразования переводят данное уравнение в уравнение-следствие? Об этом мы узнаем на следующем уроке.

«Равносильность уравнений» в 11 классе
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме » Равносильность уравнений»..

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе

Тема: «Равносильность уравнений»

Тип уроков: комбинированные уроки изучения нового материала, обобщения и систематизации знаний.

  • обобщить и систематизировать знания учащихся по наиболее важным вопросам, связанным с преобразованиями и решением уравнений с одной переменной.
  • развитие мышления учащихся; развитие познавательного интереса и умений учебно-познавательной деятельности.
  • воспитание организованности, самоконтроля и взаимоконтроля.

Организационные формы общения: индивидуальная, групповая.

Оборудование: модуль «Решение иррациональных уравнений».

I Организационный этап — 2 мин.

II Актуализация опорных знаний — 4 мин.

III Цели урока — 2 мин.

IV Изучение теоретического материала и способов деятельности — 20 мин.

V Закрепление учебного материала — 12 мин.

V Закрепление учебного материала — 25 мин.

VI Самостоятельная работа — 10 мин.

VII Домашнее задание — 3 мин.

VIII Выводы по уроку — 2 мин.

I Организационный этап

II Актуализация опорных знаний

Краткое обсуждение с учащимися тех теоретических знаний, которыми они обладают и пользуются при решении уравнений.

Допустим, нам необходимо решить уравнение

Преобразуем данное уравнение, выстраивая цепочку уравнений и стараясь получить уравнение вида а х = b , т.е. линейное уравнение

6х — 15 = 2х + 5, 6х — 2х = 5 + 15, 4х = 20.

Откуда получаем, что 5 — корень уравнения. Причём, как последнего уравнения, так и любого из уравнений данной цепочки, так как они являются равносильными уравнениями. По сути, решением уравнения и является выстраивание подобных цепочек уравнений.

Однако при преобразовании уравнений (и неравенств в том числе) далеко не всегда легко получить им равносильные уравнения. И как быть тогда?

Изучением этих крайне важных вопросов нам и предстоит заняться.

Мы вернёмся к целому ряду понятий, связанных с решением уравнений, с которыми вы неплохо знакомы, и посмотрим на них как бы несколько иначе, глубже, обобщим и дополним рядом важных и принципиальных положений.

IV Изучение теоретического материала и способов деятельности

1) Определение. Два уравнения с одной переменной f(х) = g(х) и h(х) = р(х) называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Например, уравнения — 4 = 0 и ( х + 2)(2 Х — 4 ) = 0 равносильны; равносильны и уравнения х 2 + 1 = 0 и = — 2 — они не имеют корней.

2) Определение . Если каждый корень уравнения f(х) = g(х) (1)

является в то же время корнем уравнения h(х) = р(х) (2),

то уравнение (2) называется следствием уравнения (1).

Например, уравнение х — 2 = 3 имеет корень 5 , уравнение — 25 = 0 имеет корни ± 5 . Так как корень уравнения х — 2 = 3 является корнем уравнения х 2 — 25 = 0 , то уравнение х 2 — 25 = 0 является следствием,, уравнения х — 2 = 3.

Следовательно, два уравнения называют равносильными тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

3) Если в ходе преобразований, при переходе от одного из уравнений к уравнению-следствию, мы неуверенны в равносильности выполняемого перехода, то у последнего уравнения могут появиться посторонние корни в отношении исходного уравнения. Поэтому все полученные корни уравнения- следствия необходимо проверить, подставляя их в исходное уравнение. Тем самым, проверка найденных корней уравнения является не проверкой верности выполненных технических преобразований, а неотъемлемой частью, этапом решения уравнения.

4) Итак, мы выяснили, что в процессе решения уравнений (а ещё более при решении неравенств) на каждом этапе преобразований крайне важно знать, равносильный ли переход мы совершаем. Сформулируем и обсудим ряд важных для нас положений.

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Теорема 3 . Показательное уравнение (где > 1, 1 ) равносильно уравнению f(х) = g(х).

Определение . Областью определения уравнения f(х) = g(х) или ОДЗ переменной уравнения называется множество тех значений х , при которых одновременно имеют смысл обе части уравнения f(х) = g(х).

Теорема 4 . Если обе части уравнения f(х) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое имеет смысл всюду в области определения (ОДЗ) уравнения f(х) = g(х) и при этом нигде в этой области h(х) 0 , то уравнения f(х) = g(х) и h(х)∙ f(х) = h(х) g(х) равносильны.

То есть, мы можем обе части уравнения умножать или делить на одно и то же отличное от нуля число, не нарушая при этом равносильности уравнений.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(х) = g(х) неотрицательны на ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же степень n получится уравнение g n (x), равносильное исходному уравнению.

Теорема 6. Если f(х)>0, = g(х)>0 , то уравнение log α 2 f(x) = log α g(x) , где а>0, , равносильно уравнению f(х) = g(х).

5) Рассмотрим применение теоретических положений на практике. Пусть нам дано уравнение х — 1 = 3 , корень которого равен 4 .

а) Умножив обе части уравнения на выражение х — 2 , получим уравнение (х — 1 )(х — 2) = 3(х — 2). Решим полученное уравнение

х 2 — Зх + 2 = Зх — 6, х 2 — 6х + 8 = 0, x 1 = 2, х 2 = 4.

То есть, уравнение-следствие имеет два корня 2 и 4 , причём, 2 -посторонний корень для исходного уравнения. Каким образом у исходного уравнения появился посторонний корень? — Если бы мы вначале преобразовали исходное уравнение к виду х — 4 = 0 . За тем домножили обе части уравнения на х — 2 . То получили бы уравнение (х — 4)(х — 2) = 0 , которое равносильно совокупности уравнении . Тогда понятно, что уравнение х — 2 = 0 , по отношению к исходному уравнению х — 4 = 0 , является посторонним уравнением, отсюда и появление постороннего корня. Фактически мы умножили обе части исходного уравнения на выражение х — 2 , допуская при этом его равенство нулю, что невозможно по теореме 4 .

Читать еще:  Бесплатный урок немецкого с полиглотом дмитрием петровым

б) Возведём в квадрат обе части уравнения х — 1 = 3 . Получим уравнение-следствие (х-1) 2 = 9 . Откуда х 2 — 2х — 8 = 0, х 1 = — 2, х 2 = 4 . Вновь у уравнения-следствия появляется посторонний корень по отношению к исходному уравнению. Преобразовав уравнение (х-1) 2 = 9 к виду (х-4)(х+ 2)=0 , получаем постороннее уравнение х + 2 = 0 и посторонний корень -2 . Нарушено условие теоремы 5: возводя в квадрат, мы «забыли», что при возведении в квадрат должно выполняться условие х — 1 >0 .

в) Рассмотрим уравнение ln (2х — 4) = 1n(3х — 5). Потенцируя, получим уравнение 2х — 4 = Зх — 5. Откуда х = 1 . Проверкой убеждаемся, что 1 является посторонним корнем для исходного уравнения. В данном случае произошло не появление постороннего уравнения, а расширение ОДЗ исходного уравнения. У исходного уравнения ОДЗ: (2; + ), у полученного уравнения ОДЗ — вся числовая прямая. Тем самым не нарушены требования теоремы 6.

6) Выводы. Исходное уравнение преобразуется в процессе решения в уравнение-следствие, значит, необходимо обязательное выполнение проверки всех найденных корней, если: расширилась ОДЗ уравнения; возводились в одну и ту же чётную степень обе части уравнения; выполнялось умножение обеих частей уравнения на одно и тоже выражение с переменной.

V Закрепление учебного материала

1) № 1663; № 1665(а, в); № 1666 (а, б).

2) Переходя к решению уравнений, мы будем стараться учесть следующие два момента. С одной стороны наши решения уравнений должны содержать необходимое теоретическое обоснование нашей деятельности. С другой стороны мы будем учитывать, что в дальнейшем, при решении неравенств, в большинстве случаев от нас потребуется обеспечение равносильности переходов в преобразованиях, и поэтому уже на данном этапе — при решении уравнений, мы будем отрабатывать именно эти навыки, дабы обеспечить преемственность способов деятельности.

Пусть на дано уравнение g(x) Возведя в квадрат обе части уравнения, получим уравнение f(х) = g 2 (х) которое можно записать так:

( -g(x)) ( +g(x))=0

Откуда получаем совокупность уравнений: .

Имеем постороннее уравнение, и могут появиться посторонние корни. Следовательно, необходима проверка корней. Если мы захотим выполнить равносильный переход и обойтись без проверки, то исходное уравнение

равносильно смешанной системе:

3) Решим уравнения (двумя способами):

а) Первый способ. Решение. ОДЗ уравнения: х > — 11 . После возведения обеих частей уравнения в квадрат, получим уравнение-следствие х 2 -Зх-10 = 0 с корнями — 2 и 5 . Оба корня принадлежат ОДЗ уравнения, но это не меняет сути дела и мы вынуждены выполнить проверку корней.

Проверка. Подставив x 1 = — 2 , получим — неверное равенство, — 2 — посторонний корень.

Подставив х 2 = 5 , получим или 4 = 4 — верное равенство, 5 корень исходного уравнения.

а) Второй способ . Решение. Исходное уравнение равносильно системе

или решение системы и исходного

уравнения х 2 = 5.

б) Первый способ . Решение. ОДЗ уравнения: . Возведя обе части

уравнения в квадрат и приведя подобные слагаемые, получим уравнение х 2 — х = 0 . Откуда x 1 = 0, х 2 = 1 . Опять оба корня принадлежат ОДЗ уравнения, но будут ли они корнями исходного уравнения ничего сказать нельзя.

Проверка . Подставив x 1 = 0 , получим — верное равенство, 0 — корень исходного уравнения.

Подставив х 2 = 1 , получим — верное равенство, 1 — корень исходного уравнения.

б) Второй способ. Решение. Исходное уравнение равносильно системе

или . Откуда решение системы и исходного уравнения 0 и 1 .

в) Первый способ. Решение. ОДЗ уравнения: -1 . Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные слагаемые, получим уравнение . Откуда x 1 = 0, х 2 = . Оба корня принадлежат ОДЗ

уравнения. Выполним проверку.

Проверка . Подставив x 1 = 0 , получим — неверное равенство, 0 -посторонний корень.

Подставив х 2 = , получим — неверное равенство, -посторонний корень.

Оба корня принадлежат ОДЗ переменной уравнения, но при этом являются посторонними корнями. Ответ: корней нет.

в) Второй способ . Решение. Исходное уравнение равносильно системе или . Система решений не имеет, значит, и уравнение тоже решений не имеет.

Ответ: корней нет.

г) Первый способ . Решение. ОДЗ уравнения задаётся решением системы , или которая решений не имеет. Значит, ОДЗ уравнения — пустое множество, уравнение решений не имеет.

Ответ: корней нет.

г) Второй способ . Решение. Исходное уравнение равносильно системе или Система решений не имеет, значит, и исходное уравнение тоже решений не имеет.

Ответ: корней нет .

Решение. Произведение двух сомножителей равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, а второй сомножитель при этом имеет смысл.

а) х 2 — 9 = 0, х = ± 3.

Проверим, имеет ли смысл при этих значениях второй сомножитель.

При x 1 =-3, — имеет смысл, поэтому — 3 — корень уравнения; при х 2 = 3, — не имеет смысла, 3 не является корнем уравнения.

Уравнение равносильно системе или

Решением системы является число 1 . Так как х 2 — 9 имеет смысл при всех значениях переменной, то 1 является и корнем исходного уравнения.

5) Выводы. При решении иррациональных уравнений — возведении обеих частей уравнения в чётную степень, принадлежность полученных корней ОДЗ уравнения не позволяет сделать вывод, о том являются ли эти корни посторонними или нет. Поэтому выполнение проверки корней обязательно и это этап решения уравнения. Если корень не принадлежит ОДЗ то он, конечно, посторонний корень уравнения. В то же время, записывая систему равносильную уравнению, мы не нарушаем логики решения уравнения: ведь уравнение с пустой ОДЗ равносильно системе, не имеющей решений.

VI Самостоятельная работа

Решить уравнение двумя способами.

I вариант II вариант

VII Домашнее задание

§ 55 по учебнику; № 1673 по задачнику (решить двумя способами).

Равносильные уравнения и неравенства. Видеоурок

Для просмотра онлайн кликните на видео ⤵

Алгебра 10 класс (Урок№19 — Равносильные уравнения и неравенства.) Подробнее

11 класс, 26 урок, Равносильность уравнений Подробнее

Рациональные уравнения. Равносильные уравнения. Алгебра 8кл Подробнее

решение УРАВНЕНИЙ решение НЕРАВЕНСТВ 10 11 класс Подробнее

Математика | Неравенства. Часть 1 Подробнее

Алгебра 10 класс 7 неделя Равносильные уравнения и неравенства Подробнее

Равносильные уравнения и неравенства. Видеолекция по алгебре Подробнее

Решение неравенства методом интервалов Подробнее

Равносильность уравнений | Алгебра 11 класс #23 | Инфоурок Подробнее

11 класс, 28 урок, Равносильность неравенств Подробнее

Математика | Решение квадратных неравенств Подробнее

Линейные уравнения с двумя переменными Подробнее

Задание 23 из ОГЭ! Построение графиков функций с модулем. Подробнее

Математика | Cистемы уравнений. Задачи 6 и 21 из ОГЭ Подробнее

Математика| Уравнения с модулем Или математический торт с кремом(ч.1) Подробнее

Математика| ОГЭ по математике. Задача №24. Подробнее

Математика| Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс Подробнее

15 ПРАВИЛ ОТЛИЧНИКА// Как начать учиться?! Подробнее

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector