Strong-stuff.ru

Образование Онлайн
3 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Формула бинома ньютона видеоурок

Урок на тему: «Формула бинома Ньютона»

При пользовании «Инфоуроком» вам не нужно платить за интернет!

Минкомсвязь РФ: «Инфоурок» включен в перечень социально значимых ресурсов .

Конспект урока по математике 1 курс

Тема урока: Формула бинома Ньютона

Вид и тип занятия : урок изучения нового материала

Введение понятия степень двучлена, формулы Бином Ньютона. Вычисление биномиальных коэффициентов. Представление степени двучлена в виде многочлена по формуле Бином Ньютона.

Развитие логического мышления, мыслительных операций, таких как синтез и анализ, обобщение и сравнение.

Создание условий для формирования информационной культуры обучающихся.

повышать мотивацию студентов путем использования нестандартных задач и игрового изложения материала;

побуждать студентов к само-, взаимоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний;

развить навыки формализации при решении задач с помощью формулы бинома Ньютона,

развивать познавательный интерес к предмету и самостоятельность обучающихся;

развитие логического мышления, речи и внимания;

формирование информационной культуры, потребности в приобретении знаний;

побуждать обучающихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.

Форма проведения занятия : урок – лекция с элементами соревнования.

Презентация к занятию.

1. Мотивационный момент.

Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы.

2. Проверка домашнего задания

1) Сколько трехсловных предложений можно составить из трех слов: сегодня, дождь, идет?

2) Сколькими способами 6 человек могут сесть на 6 стульев? Р 6 = 6! = 720

1) В чемпионате участвуют 12 команд. Сколькими различными способами могут быть распределены 3 различные медали? 1320

В группе 30 человек. Надо выбрать троих для работы на компьютере. Сколькими способами можно это сделать? 4060

Сколькими способами можно составить команду из 4 человек для соревнований по бегу, если имеются 7 бегунов? С 4 7 = 35

3. Актуализация опорных знаний и постановка проблемы.

Вопросы к обучающимся:

(квадрат суммы двух выражений х и 2у; куб разности двух выражений а и b; квадрат разности двух выражений с и d.)

Что общего в заданных выражениях?

(каждый случай является какой либо степенью многочлена из двух выражений или степенью двучлена.)

Представьте каждую степень двучлена в виде многочлена. Какими формулами воспользуетесь?

Формулами квадрата суммы и разности, куба суммы

(х +2у) 2 = х 2 +4ху + 4у 2

(а — 2) 3 = а 3 — 3а 2 2 +3а 2 2 — 2 3 = а 3 — 6а 2 +12а -8.

4. Введение нового материала.

Бином Ньютона — это отношение, позволяющее представить выражение

(a + b) n ;(n ∈ Z+) в виде многочлена.

С помощью следующей таблицы можно определить значения биномиальных коэффициентов для любой степени. Строится он следующим образом — любое число образуется суммой рядом стоящих чисел над ним. Именно потому эта таблица имеет название треугольник Паскаля.

Слева указана степень n, справа значения соответствующих биномиальных коэффициентов.

Что означают коэффициенты перед слагаемыми?

Столько раз эти слагаемые встретились при приведении подобных слагаемых в многочлене. Количество этих слагаемых есть не что иное, как число сочетаний С , где n — степень двучлена, m — степень второго выражения.

Степень одного из множителей в одночленах с 3 а или са 3 равна 1, количество таких слагаемых, по определению сочетания, равно С = = =4, что подтверждается вашими вычислениями.

Проверим нашу гипотезу на слагаемом 6с 2 а 2 : С = = =6, что также верно.

Заметим, что первое и последнее слагаемое стоит с коэффициентом 1, так как степень одного из выражений в этом одночлене равна 0, а по свойствам сочетаний С = С = 1.

Объединим ваши замечания в следующие правила:

Каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа;

Степени всех одночленов раны степени двучлена в условии;

Степень первого выражения одночлена в разложении убывает, начиная со степени двучлена и заканчивая нулевой;

Степень второго выражения одночлена в разложении возрастает, начиная с нулевой и заканчивая степенью двучлена.

Коэффициенты при слагаемых многочлена равны числу сочетаний С , где n — степень двучлена , m — переменная величина, пробегающая значения от 0 до n и соответствующая степени второго выражения.

А теперь запишем формулу бинома Ньютона — формулу представления степени двучлена в многочлен.

Для каждого натурального числа n и произвольных чисел a и b имеет место равенство:

Равенство называется формулой бинома Ньютона, числа С — биномиальными коэффициентами.

Запишем пример, используя бином Ньютона:

(х -2) 5 = С х 5 + С х 4 (-2) 1 + С х 3 (-2) 2 + С х 2 (-2) 3 +С х 1 (-2) 4 +С (-2) 5 =

Посчитаем биномиальные коэффициенты, используя определение и свойства числа сочетаний:

С = С =1; С = С = =5; С = С = = =10.

=х 5 -5 х 4 2+ 10х 3 2 2 — 10х 2 2 3 +5х 2 4 -2 5 = х 5 -10х 4 + 40х 3 — 80х 2 +80х -32.

Как видите, мы достигли того же результата, но гораздо быстрее.

И можем добавить ещё одно правило

Что ещё, связанное с коэффициентами вы заметили?

Крайние коэффициенты равны 1, и все коэффициенты симметричны, относительно середины.

Добавим ещё одно правило, связанное со знаками между одночленами, в формуле бином Ньютона задана сумма, у нас же появились минусы.

Степень разности будет представлена в виде многочлена, знаки в котором чередуются, начиная со знака +, так как нечётная степень отрицательного выражения будет отрицательной, чётная степень всегда положительна.

Вы видите, насколько рационализируется работа по возведению двучлена в степень, если использовать бином Ньютона. Но на самом деле нашу работу можно ещё упростить. Достаточно долго вы вычисляли биномиальные коэффициенты, а коэффициенты — это сочетания. Посмотрите внимательно, все ли свойства сочетаний, которые были ранее введены, мы использовали?

4. Практическая работа.

1). Составьте формулы бинома Ньютона, используя первую, вторую и третью строки.

Для n=1 а+b = a+b — получается вполне естественное тождество.

Для n=2 ( а + b) 2 = a 2 + 2ab+b 2 ;

Для n=3 ( а + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ;

Какой вывод вы сможете сделать?

Известные формулы квадрата и куба суммы или разности двух выражений являются частным случаем формулы бином Ньютона для n =2;3.

5. Обучающая самостоятельная работа с последующей проверкой

1. Представьте степень двучлена в виде многочлена, используя бином Ньютона

а) (х+у) 6 = х 6 +6х 5 у +15х 4 у 2 +20х 3 у 3 +15х 2 у 4 +6ху 5 +у 6 .

б) (1- 2а) 4 = 1 * 1 4 (2а) 0 – 4* 1 3 2а + 6*1 2 (2а) 2 — 4 * 1 1 * (2а) 3 + 1 * 1 0 (2а) 4 == 1 — 8а + 24а 2 — 32а 3 + 16а 4 .

6. Подведение итогов самостоятельной работы.

7. Подведение итогов урока.

8. Домашнее задание:

Выучить формулу бином Ньютона.

Представить в виде многочлена: (х — 1) 7 ; (2х — 3) 4

Бином Ньютона

Содержание:

Бином Ньютона — формула

С натуральным n формула Бинома Ньютона принимает вид a + b n = C n 0 + a n + C n 1 + a n — 1 · b + C n 2 + a n — 2 · b 2 + . . . + C n n — 1 + a · b n — 1 + C n n · b n , где имеем, что C n k = ( n ) ! ( k ) ! · ( n — k ) ! = n ( n — 1 ) · ( n — 2 ) · . . . · ( n — ( k — 1 ) ) ( k ) ! — биномиальные коэффициенты, где есть n по k , k = 0 , 1 , 2 , … , n , а » ! » является знаком факториала.

Читать еще:  Школа сушиста виктор бурда уроки

В формуле сокращенного умножения a + b 2 = C 2 0 · a 2 + C 2 1 · a 1 · b + C 2 2 · b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
просматривается формула бинома Ньютона, так как при n = 2 является его частным случаем.

Первая часть бинома называют разложением ( a + b ) n , а С n k · a n — k · b k — ( k + 1 ) -ым членом разложения, где k = 0 , 1 , 2 , … , n .

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля

Представление биномиальных коэффициентов для различных n осуществляется при помощи таблицы, которая имеет название арифметического треугольника Паскаля. Общий вид таблицы:

При натуральных n такой треугольник Паскаля состоит из значений коэффициентов бинома:

Боковые стороны треугольника имеют значение единиц. Внутри располагаются числа, которые получаются при сложении двух чисел соседних сторон. Значения, которые выделены красным, получают как сумму четверки, а синим – шестерки. Правило применимо для всех внутренних чисел, которые входят в состав треугольника. Свойства коэффициентов объясняются при помощи бинома Ньютона.

Доказательство формулы бинома Ньютона

Имеются равенства, которые справедливы для коэффициентов бинома Ньютона:

  • коэффициента располагаются равноудалено от начала и конца, причем равны, что видно по формуле C n p = C n n — p , где р = 0 , 1 , 2 , … , n ;
  • C n p = C n p + 1 = C n + 1 p + 1 ;
  • биномиальные коэффициенты в сумме дают 2 в степени показателя степени бинома, то есть C n 0 + C n 1 + C n 2 + . . . + C n n = 2 n ;
  • при четном расположении биноминальных коэффициентов их сумма равняется сумме биномиальных коэффициентов, расположенных в нечетных местах.

Равенство вида a + b n = C n 0 + a n + C n 1 + a n — 1 · b + C n 2 + a n — 2 · b 2 + . . . + C n n — 1 + a · b n — 1 + C n n · b n считается справедливым. Докажем его существование.

Для этого необходимо применить метод математической индукции.

Для доказательства необходимо выполнить несколько пунктов:

  1. Проверка справедливости разложения при n = 3 . Имеем, что
    a + b 3 = a + b a + b a + b = a 2 + a b + b a + b 2 a + b = = a 2 + 2 a b + b 2 a + b = a 3 + 2 a 2 b + a b 2 + a 2 b + 2 a b + b 3 = = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 = C 3 0 a 3 + C 3 1 a 2 b + C 3 2 a b 2 + C 3 3 b 3
  2. Если неравенство верно при n — 1 , тогда выражение вида a + b n — 1 = C n — 1 0 · a n — 1 · C n — 1 1 · a n — 2 · b · C n — 1 2 · a n — 3 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 2 + C n — 1 n — 1 · b n — 1
  1. Доказательство равенства a + b n — 1 = C n — 1 0 · a n — 1 · C n — 1 1 · a n — 2 · b · C n — 1 2 · a n — 3 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 2 + C n — 1 n — 1 · b n — 1 , основываясь на 2 пункте.

Доказательство 1

a + b n = a + b a + b n — 1 = = ( a + b ) C n — 1 0 · a n — 1 · C n — 1 1 · a n — 2 · b · C n — 1 2 · a n — 3 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 2 + C n — 1 n — 1 · b n — 1

Необходимо раскрыть скобки, тогда получим a + b n = C n — 1 0 · a n + C n — 1 1 · a n — 1 · b + C n — 1 2 · a n — 2 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a 2 · b n — 2 + + C n — 1 n — 1 · a · b n — 1 + C n — 1 0 · a n — 1 · b + C n — 1 1 · a n — 2 · b 2 + C n — 1 2 · a n — 3 · b 3 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 1 + C n — 1 n — 1 · b n

Производим группировку слагаемых

a + b n = = C n — 1 0 · a n + C n — 1 1 + C n — 1 0 · a n — 1 · b + C n — 1 2 + C n — 1 1 · a n — 2 · b 2 + . . . + + C n — 1 n — 1 + C n — 1 n — 2 · a · b n — 1 + C n — 1 n — 1 · b n

Имеем, что C n — 1 0 = 1 и C n 0 = 1 , тогда C n — 1 0 = C n 0 . Если C n — 1 n — 1 = 1 и C n n = 1 , тогда C n — 1 n — 1 = C n n . При применении свойства сочетаний C n p + C n p + 1 = C n + 1 p + 1 , получаем выражение вида

C n — 1 1 + C n — 1 0 = C n 1 C n — 1 2 + C n — 1 1 = C n 2 ⋮ C n — 1 n — 1 + C n — 1 n — 2 = C n n — 1

Произведем подстановку в полученное равенство. Получим, что

a + b n = = C n — 1 0 · a n + C n — 1 1 + C n — 1 0 · a n — 1 · b + C n — 1 2 + C n — 1 1 · a n — 2 · b 2 + . . . + + C n — 1 n — 1 + C n — 1 n — 2 · a · b n — 1 = C n — 1 n — 1 · b n

После чего можно переходить к биному Ньютона, тогда a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n .

Формула бинома доказана.

Бином Ньютона — применение при решении примеров и задач

Для полного понятия использования формулы рассмотрим примеры.

Разложить выражение ( a + b ) 5 , используя формулу бинома Ньютона.

Решение

По треугольнику Паскаля с пятой степенью видно, что биноминальные коэффициенты – это 1 , 5 , 10 , 10 , 5 , 1 . То есть, получаем, что a + b 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 a b 4 + b 5 является искомым разложением.

Ответ: a + b 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 a b 4 + b 5

Найти коэффициенты бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения вида a + b 10 .

Решение

По условию имеем, что n = 10 , k = 6 — 1 = 5 . Тогда можно перейти к вычислению биномиального коэффициента:

C n k = C 10 5 = ( 10 ) ! ( 5 ) ! · 10 — 5 ! = ( 10 ) ! ( 5 ) ! · ( 5 ) ! = = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 ( 5 ) ! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 252

Ответ: C n k = C 10 5 = 252

Ниже приведен пример, где используется бином для доказательства делимости выражения с заданным числом.

Доказать, что значение выражения 5 n + 28 · n — 1 , при n , являющимся натуральным числом, делится на 16 без остатка.

Решение

Необходимо представить выражение в виде 5 n = 4 + 1 n и воспользоваться биномом Ньютона. Тогда получим, что

5 n + 28 · n — 1 = 4 + 1 n + 28 · n — 1 = = C n 0 · 4 n + C n 1 · 4 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 4 2 · 1 n — 2 + C n n — 1 · 4 · 1 n — 1 + C n n · 1 n + 28 · n — 1 = = 4 n + C n 1 · 4 n — 1 + . . . + C n n — 2 · 4 2 + n · 4 + 1 + 28 · n — 1 = = 4 n + C n 1 · 4 n — 1 + . . . + C n n — 2 · 4 2 + 32 · n = = 16 · ( 4 n — 2 + C n 1 · 4 n — 3 + . . . + C n n — 2 + 2 · n )

Ответ: Исходя из полученного выражения, видно, что исходное выражение делится на 16 .

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №31. Сочетания без повторений. Бином Ньютона

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие сочетания без повторения и их свойства;

2) правила подсчета числа сочетаний из n-элементов по m без повторений;

3) бином Ньютона;

4) треугольник Паскаля.

Глоссарий по теме

Сочетаниями из n элементов по m в каждом (m ≤ n) называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из данных n различных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

Число всевозможных сочетаний из n различных элементов по m элементов обозначают

Формула для подсчёта числа сочетаний:

Бином Ньютона – формула разложения произвольной натуральной степени двучлена в многочлен.

Числа являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Общим термином «соединения» в комбинаторике называют три вида комбинаций, составляемых из некоторого числа различных элементов, принадлежащих одному и тому же множеству. Ранее уже рассматривались два вида комбинаций. Это перестановки и размещения. В данных соединениях важен порядок размещения элементов. В случае, когда этот порядок не важен, то мы имеем дело с сочетаниями.

Сочетаниями из n элементов по m в каждом (m ≤ n ) называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из данных n различных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

Иногда такие сочетания называют сочетаниями без повторений.

Число всевозможных сочетаний из из n элементов по m элементов обозначают

Формула для подсчёта числа сочетаний:

Используя данную формулу можно отметить основные свойства сочетаний.

Простейшие свойства сочетаний:

1)

2)

3)

Доказательства свойства сочетаний

Читать еще:  Итальянский с дмитрием петровым урок 1

1)

2)

3)

При возведении суммы или разности двух чисел во вторую или третью степень мы пользовались формулами сокращенного умножения, которые являются частным случаем бинома Ньютона.

Бином Ньютона – формула разложения произвольной натуральной степени двучлена в многочлен.

Числа являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:

Для более простого подсчета коэффициентов Бинома Ньютона для невысоких степеней удобно пользоваться треугольником Паскаля:

По бокам в каждой строчки имеется коэффициент, равный единице. Все средние коэффициенты считаются, как сумма верхних, которые находятся над ними.

Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.

Не трудно заметить, что строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Это еще одно замечательное свойство треугольника Паскаля

Исаак Ньютон (1642-1727 гг.) – выдающийся английский ученый, один из создателей классической физики. Биография Ньютона богата во всех смыслах этого слова. Он сделал немало открытий в области физики, астрономии, механике и математике. Ньютон является автором фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления, теорию цвета, заложил основы современной физической оптики, создал многие другие математические и физические теории.

А при чем же здесь бином Ньютона и биномиальные коэффициенты? Формула

была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени произвольное рациональное число (возможно, отрицательное).

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

В вазе лежат двенадцать конфет, четыре из которых шоколадные, а остальные карамель. Вы хотите угоститься, выбрав две шоколадные и три карамельные конфеты. Сколькими способами вы можете это сделать?

Мы имеем два события. Это выбор шоколадных и выбор карамельных конфет. Порядок конфет не важен. Поэтому мы можем использовать формулу сочетания для каждого из событий. Так, как шоколадных конфет всего четыре, а выбрать мы хотим две, то это можно сделать способами .

1)

Теперь посчитаем количество выбора карамельных конфет. Их общее количество в вазе 12-4=8, а выбрать мы хотим три. Рассчитаем сочетание из восьми по три.

2)

События выбора разных видов конфет между собой независимы, поэтому по правилу умножения получаем

3)

Представить разложение двучлена в n степени в виде многочлена, где n=0, 1, 2, …,5

Первые четыре разложения мы хорошо умеем делать, используя формулы квадрата и куба разности.

А для представления бинома четвертой и пятой степени воспользуемся треугольником Паскаля.

Урок по теме «Формулы сокращенного умножения для высших степеней. Бином Ньютона». 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Образовательные:
– научить учащихся возводить двучлен в натуральную степень;
– находить биноминальные коэффициенты, используя треугольник Паскаля;

Развивающие:
– развивать логическое мышление, такие мыслительные операции, как синтез и анализ, обобщение и сравнение;
– развивать умение выдвигать гипотезы при решении учебной задачи и понимать необходимость их проверки;
– развивать интерес к предмету.

Воспитательные:
– создание условий для формирования информационной культуры учащихся.

Методы: проблемный, объяснительно – иллюстративный, частично-поисковый.

Оборудование: школьная доска, компьютер, проектор.

Раздаточный материал: “Треугольник Паскаля”, карточки для самостоятельной работы

1. Организационный момент.

Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы.

2. Актуализация опорных знаний и постановка проблемы.

На экране фрагмент фильма “Мастер и Маргарита”)

Комментарий к фрагменту.

О биноме Ньютона речь идет в романе “Последнее дело Холмса”Конан Дойля Позже это же выражение упомянуто в фильме “Сталкер” А.А.Тарковского. Бином Ньютона упоминается в фильме “Расписание на послезавтра”, в повести Льва Толстого “Юность” в эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет Николаем Иртеньевым и в романе Замятина “Мы”.

Когда хотят подчеркнуть, что собеседник преувеличивает сложность задач, с которыми он столкнулся, говорят: “Тоже мне бином Ньютона!” Дескать, вот бином Ньютона, это сложно, а у тебя какие проблемы! Что же это за формула такая и почему о ней слышали даже те люди, чьи интересы никак не связаны с математикой?

Так что же такое бином Ньютона?

3. Повторим формулы сокращенного умножения, которые мы с вами знаем.

У доски учащиеся записывают формулы квадрата суммы и разности, формулы куба суммы и куба разности двух выражений.

(а + в) 2 = а 2 + 2ав + в 2
(а – в) 2 = а 2 – 2ав + в 2
(а + в) 3 = а 3 + 3а 2 в + 3ав 2 + в 3
(а – в) 3 = а 3 – 3а 2 в + 3ав 2 – в 3

Попробуйте записать формулу для 4-ой степени

(а+в) 4 =(а+в) 3 (а+в)=(а 3 +3а 2 в+3ав 2 +в 3 )(а+в)=

а 4 + 3а 3 в + 3а 2 в 2 + ав 3 + а 3 в + 3а 2 в 2 + 3ав 3 + в 4 =

а 4 + 4а 3 в + 6а 2 в 2 + 4ав 3 + в 4 .

и для 5-ой степени:

(а + в) 5 = (а + в) 4 (а + в) = (а 4 + 4а 3 в + 6а 2 в 2 + 4ав 3 + в 4 )(а + в) =

а 5 + 4а 4 в + 6а 3 в 2 + 4а 2 в 3 + в 4 а + а 4 в + 4а 3 в 2 + 6а 2 в 3 + 4ав 4 + в 5 =

а 5 + 5а 4 в + 10а 3 в 2 + 10а 2 в 3 + 5ав 4 + в 5

Внимательно рассмотрим полученные формулы: на экране таблица “Смотри!”

n = 1 (а +в ) 1 = 1·а+1·в

n = 2 (а + в) 2 = 1· а 2 + 2·ав +1· в 2

n = 3 ( а + в) 3 = 1· а 3 + 3·а 2 в + 3·ав 2 +1· в 3

n = 4 ( а + в) 4 = 1·а 4 + 4·а 3 в + 6·а 2 в 2 +4·а в 3 +1·в 4

n = 5 (а + в) 5 = 1·а 5 + 5·а 4 в+ 10·а 3 в 2 + 10·а 2 в 3 + 5·ав 4 + 1·в 5

Заметим следующее (обсуждаем вместе с учащимися увиденные закономерности):

1. число членов получаемого многочлена на единицу больше показателя степени бинома;

2. показатель степени первого слагаемого убывает от n до 0, показатель степени второго слагаемого возрастает от 0 до n;

3. степени всех одночленов равны степени двучлена в условии;

4. каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа; числа– биноминальные коэффициенты;

5. биноминальные коэффициенты, равноотстоящие от начала и конца разложения, равны.

Слово “бином” означает всего-навсего двучлен, т.е. сумму двух слагаемых.

Происходит оно от латинских корней: два и слово.

Попробуем, используя полученные выводы, записать бином для шестой степени.

У доски ученик записывает формулу.

Коэффициенты разложения степени бинома легко найти по следующей схеме, которая называется “треугольник Паскаля”, по имени французского математика Блез Паскаля (1623–1662) (презентация, сделанная учащимися)

Каждый крайний элемент равен 1, а каждый не крайний элемент равен сумме двух своих верхних соседей .

Комментарий к презентации:

Блез Паскаль умер в 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, он вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем благодарными потомками названы единица давления(паскаль) и получивший чрезвычайно широкое распространение язык программирования. Но, наверное, самой известной математической работой Блеза Паскаля является “Трактат об арифметическом треугольнике”, образованном биноминальными коэффициентами, который имеет применение в теории вероятностей, комбинаторики, математическом анализе, теории чисел и обладает удивительными и занимательными свойствами. Кстати, одну из первых теорем в проективной геометрии Паскаль доказал в возрасте 16 лет.

Читать еще:  Итальянский язык урок 8

Именно И.Ньютон в 1664–1665 гг. вывел формулу, выражающую степень двучлена для произвольных дробных и отрицательных показателей.

Найти разложение бинома (у каждого на парте треугольник Паскаля).

1. У доски вместе с учителем

№ 1. ( х +у) 5 = х 5 + 5х 4 у + 10х 3 у 2 + 10х 2 у 3 + 5ху 4 + у 5

№ 2 (1 + 2а) 4 = 1 4 + 4·1 3 ·2а + 6·1 2 ·(2а) 2 + 4· 1 1 ·(2а) 3 + (2а) 4 =

1 + 8а + 24а 2 + 32а 3 + 16а 4

№3 (х – у) 6 = (х + (-у)) 6 = х 6 + 6х 5 (-у) + 15х 4 (-у) 2 + 20х 3 (-у) 3 +

15х 2 (-у) 4 + 6х(-у) 5 + у 6 = х 6 – 6х 5 у +15х 4 у 2 – 20х 3 у 3 + 15х 2 у 4 – 6ху 5 + у 6 .

2. Биноминальные коэффициенты можно вычислять по формуле.

Записывается формула бинома Ньютона. Формула для нахождения коэффициентов.

В более общем виде формула коэффициентов в биноме записывается так:

где k – порядковый номер слагаемого в многочлене.

Напомним, что факториал – произведение натуральных чисел от 1 до n, то есть 1·2·З. ·n – обозначается n! Например: 4! = 1·2·3·4 = 24.

3. Работа с учебником (с. 116–118,задача №1, задача № 2).

4. Самостоятельная работа по карточкам:

1. ( 1 + 3а) 4
2. (2а – в) 5
3. (3в + 1) 4
4. (х – 2у) 5

стр.116–118, № 62, 63, 67,
для желающих стр.118– 119( свойства биноминальных коэффициентов + № 64.

Бином Ньютона

Содержание:

Бином Ньютона — формула

С натуральным n формула Бинома Ньютона принимает вид a + b n = C n 0 + a n + C n 1 + a n — 1 · b + C n 2 + a n — 2 · b 2 + . . . + C n n — 1 + a · b n — 1 + C n n · b n , где имеем, что C n k = ( n ) ! ( k ) ! · ( n — k ) ! = n ( n — 1 ) · ( n — 2 ) · . . . · ( n — ( k — 1 ) ) ( k ) ! — биномиальные коэффициенты, где есть n по k , k = 0 , 1 , 2 , … , n , а » ! » является знаком факториала.

В формуле сокращенного умножения a + b 2 = C 2 0 · a 2 + C 2 1 · a 1 · b + C 2 2 · b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
просматривается формула бинома Ньютона, так как при n = 2 является его частным случаем.

Первая часть бинома называют разложением ( a + b ) n , а С n k · a n — k · b k — ( k + 1 ) -ым членом разложения, где k = 0 , 1 , 2 , … , n .

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля

Представление биномиальных коэффициентов для различных n осуществляется при помощи таблицы, которая имеет название арифметического треугольника Паскаля. Общий вид таблицы:

При натуральных n такой треугольник Паскаля состоит из значений коэффициентов бинома:

Боковые стороны треугольника имеют значение единиц. Внутри располагаются числа, которые получаются при сложении двух чисел соседних сторон. Значения, которые выделены красным, получают как сумму четверки, а синим – шестерки. Правило применимо для всех внутренних чисел, которые входят в состав треугольника. Свойства коэффициентов объясняются при помощи бинома Ньютона.

Доказательство формулы бинома Ньютона

Имеются равенства, которые справедливы для коэффициентов бинома Ньютона:

  • коэффициента располагаются равноудалено от начала и конца, причем равны, что видно по формуле C n p = C n n — p , где р = 0 , 1 , 2 , … , n ;
  • C n p = C n p + 1 = C n + 1 p + 1 ;
  • биномиальные коэффициенты в сумме дают 2 в степени показателя степени бинома, то есть C n 0 + C n 1 + C n 2 + . . . + C n n = 2 n ;
  • при четном расположении биноминальных коэффициентов их сумма равняется сумме биномиальных коэффициентов, расположенных в нечетных местах.

Равенство вида a + b n = C n 0 + a n + C n 1 + a n — 1 · b + C n 2 + a n — 2 · b 2 + . . . + C n n — 1 + a · b n — 1 + C n n · b n считается справедливым. Докажем его существование.

Для этого необходимо применить метод математической индукции.

Для доказательства необходимо выполнить несколько пунктов:

  1. Проверка справедливости разложения при n = 3 . Имеем, что
    a + b 3 = a + b a + b a + b = a 2 + a b + b a + b 2 a + b = = a 2 + 2 a b + b 2 a + b = a 3 + 2 a 2 b + a b 2 + a 2 b + 2 a b + b 3 = = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 = C 3 0 a 3 + C 3 1 a 2 b + C 3 2 a b 2 + C 3 3 b 3
  2. Если неравенство верно при n — 1 , тогда выражение вида a + b n — 1 = C n — 1 0 · a n — 1 · C n — 1 1 · a n — 2 · b · C n — 1 2 · a n — 3 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 2 + C n — 1 n — 1 · b n — 1
  1. Доказательство равенства a + b n — 1 = C n — 1 0 · a n — 1 · C n — 1 1 · a n — 2 · b · C n — 1 2 · a n — 3 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 2 + C n — 1 n — 1 · b n — 1 , основываясь на 2 пункте.

Доказательство 1

a + b n = a + b a + b n — 1 = = ( a + b ) C n — 1 0 · a n — 1 · C n — 1 1 · a n — 2 · b · C n — 1 2 · a n — 3 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 2 + C n — 1 n — 1 · b n — 1

Необходимо раскрыть скобки, тогда получим a + b n = C n — 1 0 · a n + C n — 1 1 · a n — 1 · b + C n — 1 2 · a n — 2 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a 2 · b n — 2 + + C n — 1 n — 1 · a · b n — 1 + C n — 1 0 · a n — 1 · b + C n — 1 1 · a n — 2 · b 2 + C n — 1 2 · a n — 3 · b 3 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 1 + C n — 1 n — 1 · b n

Производим группировку слагаемых

a + b n = = C n — 1 0 · a n + C n — 1 1 + C n — 1 0 · a n — 1 · b + C n — 1 2 + C n — 1 1 · a n — 2 · b 2 + . . . + + C n — 1 n — 1 + C n — 1 n — 2 · a · b n — 1 + C n — 1 n — 1 · b n

Имеем, что C n — 1 0 = 1 и C n 0 = 1 , тогда C n — 1 0 = C n 0 . Если C n — 1 n — 1 = 1 и C n n = 1 , тогда C n — 1 n — 1 = C n n . При применении свойства сочетаний C n p + C n p + 1 = C n + 1 p + 1 , получаем выражение вида

C n — 1 1 + C n — 1 0 = C n 1 C n — 1 2 + C n — 1 1 = C n 2 ⋮ C n — 1 n — 1 + C n — 1 n — 2 = C n n — 1

Произведем подстановку в полученное равенство. Получим, что

a + b n = = C n — 1 0 · a n + C n — 1 1 + C n — 1 0 · a n — 1 · b + C n — 1 2 + C n — 1 1 · a n — 2 · b 2 + . . . + + C n — 1 n — 1 + C n — 1 n — 2 · a · b n — 1 = C n — 1 n — 1 · b n

После чего можно переходить к биному Ньютона, тогда a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n .

Формула бинома доказана.

Бином Ньютона — применение при решении примеров и задач

Для полного понятия использования формулы рассмотрим примеры.

Разложить выражение ( a + b ) 5 , используя формулу бинома Ньютона.

Решение

По треугольнику Паскаля с пятой степенью видно, что биноминальные коэффициенты – это 1 , 5 , 10 , 10 , 5 , 1 . То есть, получаем, что a + b 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 a b 4 + b 5 является искомым разложением.

Ответ: a + b 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 a b 4 + b 5

Найти коэффициенты бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения вида a + b 10 .

Решение

По условию имеем, что n = 10 , k = 6 — 1 = 5 . Тогда можно перейти к вычислению биномиального коэффициента:

C n k = C 10 5 = ( 10 ) ! ( 5 ) ! · 10 — 5 ! = ( 10 ) ! ( 5 ) ! · ( 5 ) ! = = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 ( 5 ) ! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 252

Ответ: C n k = C 10 5 = 252

Ниже приведен пример, где используется бином для доказательства делимости выражения с заданным числом.

Доказать, что значение выражения 5 n + 28 · n — 1 , при n , являющимся натуральным числом, делится на 16 без остатка.

Решение

Необходимо представить выражение в виде 5 n = 4 + 1 n и воспользоваться биномом Ньютона. Тогда получим, что

5 n + 28 · n — 1 = 4 + 1 n + 28 · n — 1 = = C n 0 · 4 n + C n 1 · 4 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 4 2 · 1 n — 2 + C n n — 1 · 4 · 1 n — 1 + C n n · 1 n + 28 · n — 1 = = 4 n + C n 1 · 4 n — 1 + . . . + C n n — 2 · 4 2 + n · 4 + 1 + 28 · n — 1 = = 4 n + C n 1 · 4 n — 1 + . . . + C n n — 2 · 4 2 + 32 · n = = 16 · ( 4 n — 2 + C n 1 · 4 n — 3 + . . . + C n n — 2 + 2 · n )

Ответ: Исходя из полученного выражения, видно, что исходное выражение делится на 16 .

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector